代数结构
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
上的相容关系通常定义为与
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
的所有运算都兼容的自反对称关系，也可视为满足某些条件的
A
{\displaystyle A}
的覆盖。可以证明两个定义是相互等价的。代数结构
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
上的相容关系关于蕴涵构成代数格
Tolr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
。每个同余关系是相容关系，因此同余关系格
Cong
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Cong} (A)}
是相容关系格
Tolr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
的一个子集，但
Cong
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Cong} (A)}
不必是
Tolr
(
A
)
{\displaystyle \operatorname {Tolr} (A)}
的子格。[1]
作为二元关系
编辑
代数结构
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
上的相容关系定义为满足以下条件的
A
{\displaystyle A}
上的二元关系
∼
{\displaystyle \sim }
。
（自反性）对于任意
a
∈
A
{\displaystyle a\in A}
，有
a
∼
a
{\displaystyle a\sim a}
。
（对称性）对于任意
a
,
b
∈
A
{\displaystyle a,b\in A}
，如果
a
∼
b
{\displaystyle a\sim b}
，那么有
b
∼
a
{\displaystyle b\sim a}
。
（相容性）
{
(
a
,
b
)
:
a
∼
b
}
{\displaystyle \{(a,b)\colon a\sim b\}}
构成两个
A
{\displaystyle A}
的直积
A
2
{\displaystyle A^{2}}
的子代数。也就是说，对于每个
n
{\displaystyle n}
元运算
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
以及
a
1
,
…
,
a
n
,
b
1
,
…
,
b
n
∈
A
{\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n},b_{1},\dots ,b_{n}\in A}
，如果
a
i
∼
b
i
{\displaystyle a_{i}\sim b_{i}}
对每个
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle i=1,\dots ,n}
成立，那么有
f
(
a
1
,
…
,
a
n
)
∼
f
(
b
1
,
…
,
b
n
)
{\displaystyle f(a_{1},\dots ,a_{n})\sim f(b_{1},\dots ,b_{n})}
。
同余关系定义为传递的相容关系。
作为覆盖
编辑
代数结构
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
上的相容关系定义为满足以下条件的
A
{\displaystyle A}
的覆盖。[2]:307, Theorem 3
对于任意
C
∈
C
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
以及
S
⊆
C
{\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}
，如果
C
⊆
⋃
S
{\displaystyle \textstyle C\subseteq \bigcup {\mathcal {S}}}
，那么有
⋂
S
⊆
C
{\displaystyle \textstyle \bigcap {\mathcal {S}}\subseteq C}
。
特别地，
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的任何两个不同元素是不可比较的。（取
S
=
{
D
}
{\displaystyle {\mathcal {S}}=\{D\}}
。）
对于任意
S
⊆
A
{\displaystyle S\subseteq A}
，如果
S
{\displaystyle S}
不是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的元素的子集，存在二元素子集
{
s
,
t
}
⊆
S
{\displaystyle \{s,t\}\subseteq S}
使得
{
s
,
t
}
{\displaystyle \{s,t\}}
不是
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
的元素的子集。
对于每个
n
{\displaystyle n}
元运算
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
以及
C
1
,
…
,
C
n
∈
C
{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in {\mathcal {C}}}
，存在
(
f
/
∼
)
(
C
1
,
…
,
C
n
)
∈
C
{\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})\in {\mathcal {C}}}
使得
{
f
(
c
1
,
…
,
c
n
)
:
c
i
∈
C
i
}
⊆
(
f
/
∼
)
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle \{f(c_{1},\dots ,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}
。（这样的
(
f
/
∼
)
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}
不一定唯一。）
集合分划满足定义中的前两个条件，但是反之不然。同余关系定义为构成分划的相容关系。
两种定义的等价
编辑
相容关系作为二元关系和作为覆盖的定义是等价的。具体地，设
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
是一个代数结构，
∼
{\displaystyle \sim }
是
A
{\displaystyle A}
上的二元关系，并且是
A
{\displaystyle A}
上的相容关系。记
A
/
∼
{\displaystyle A/{\sim }}
是由极大子集
C
⊆
{\displaystyle C\subseteq }
使得对于每个
c
,
d
∈
C
{\displaystyle c,d\in C}
有
c
∼
d
{\displaystyle c\sim d}
所构成的集合。使用图论术语，
A
/
∼
{\displaystyle A/{\sim }}
是图
(
A
,
∼
)
{\displaystyle (A,\sim )}
的极大团的集合。在同余关系的情形下
A
/
∼
{\displaystyle A/{\sim }}
就是等价类组成的商集。那么，
A
/
∼
{\displaystyle A/{\sim }}
是
A
{\displaystyle A}
的覆盖，并且满足作为覆盖定义中的三个条件。（最后一个条件可以使用佐恩引理予以证明。）反之，设
C
{\displaystyle {\mathcal {C}}}
是
A
{\displaystyle A}
的覆盖，并且作为覆盖构成相容关系。定义
A
{\displaystyle A}
上的二元关系
∼
C
{\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}}
，使得
a
∼
C
b
{\displaystyle a\sim _{\mathcal {C}}b}
当且仅当存在
C
∈
C
{\displaystyle C\in {\mathcal {C}}}
使得
a
,
b
∈
C
{\displaystyle a,b\in C}
。那么
∼
C
{\displaystyle \sim _{\mathcal {C}}}
作为二元关系构成
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
上的相容关系。因此两种定义等价。一个相容关系作为二元关系是传递关系当且仅当作为覆盖是分划。所以同余关系的两种刻画也是一致的。
关于相容关系的商代数
编辑
设
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
是代数结构，
∼
{\displaystyle \sim }
是其上的相容关系，并且设对于每个
n
{\displaystyle n}
元运算
f
∈
F
{\displaystyle f\in F}
以及
C
1
,
…
,
C
n
∈
A
/
∼
{\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}\in A/{\sim }}
，存在唯一的
(
f
/
∼
)
(
C
1
,
…
,
C
n
)
∈
A
/
∼
{\displaystyle (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})\in A/{\sim }}
使得有
{
f
(
c
1
,
…
,
c
n
)
:
c
i
∈
C
i
}
⊆
(
f
/
∼
)
(
C
1
,
…
,
C
n
)
{\displaystyle \{f(c_{1},\dots ,c_{n})\colon c_{i}\in C_{i}\}\subseteq (f/{\sim })(C_{1},\dots ,C_{n})}
那么，这就自然地定义了
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
关于
∼
{\displaystyle \sim }
的商代数
(
A
/
∼
,
F
/
∼
)
{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}
对于同余关系，上面的唯一性条件必然成立，并且上面定义的商代数与通常的商代数是一致的。
与同余关系不同，对于相容关系，上面的唯一性条件不一定成立；即使成立，商代数
(
A
/
∼
,
F
/
∼
)
{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}
不一定继承用来定义
(
A
,
F
)
{\displaystyle (A,F)}
所属簇的恒等式，于是
(
A
/
∼
,
F
/
∼
)
{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}
不一定仍然落入这个簇。因此，对于代数结构簇
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
，我们需要考虑它可能满足的以下两个条件。[1]
（相容可分解性）对于所有
(
A
,
F
)
∈
V
{\displaystyle (A,F)\in {\mathcal {V}}}
以及其上的相容关系
∼
{\displaystyle \sim }
，上面表述的唯一性条件成立。（从而可以定义商代数
(
A
/
∼
,
F
/
∼
)
{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })}
。)
（强相容可分解性）对于所有
(
A
,
F
)
∈
V
{\displaystyle (A,F)\in {\mathcal {V}}}
以及其上的相容关系
∼
{\displaystyle \sim }
，上面表述的唯一性条件成立，并且有
(
A
/
∼
,
F
/
∼
)
∈
V
{\displaystyle (A/{\sim },F/{\sim })\in {\mathcal {V}}}
。
前者蕴涵后者，但是反之不一定成立。